1 skyrius · pagrindai

Kitimo greitis ir polinkis

Prieš išvestinę reikia vieno paprasto dalyko – suprasti, ką reiškia „kaip greitai kažkas keičiasi“. Šiame skyriuje pradedame nuo nulio: greitis gyvenime, tiesės polinkis k, vidutinis kitimo greitis ir kodėl kreivei vieno k neužtenka.

Įsimink: sraigės rampa nuolaidi – kiekvienas laiptelis žemas. Kiškio rampa stati – laipteliai aukšti. Kuo statesnė tiesė, tuo didesnis jos polinkis k.

1KAM to reikia? Greitis būna ne tik automobilio

Žodį „greitis“ dažniausiai siejame su automobiliu: 80 km/h. Bet greitis – tai bet kokio kitimo matas. Jis visada atsako į klausimą: kiek pasikeičia vienas dydis, kai kitas pasikeičia vienetu?

Kas keičiasi	Skaičiavimas	Kitimo greitis
Automobilis per 3 h nuvažiavo 240 km	240 : 3	80 km/h
Oras nuo 6:00 iki 14:00 sušilo nuo 8 °C iki 20 °C	(20 − 8) : 8	1,5 °C per valandą
Taupyklėje po 1 mėn. buvo 40 €, po 6 mėn. – 190 €	(190 − 40) : 5	30 € per mėnesį
Baterija 8:00 rodė 100 %, 14:00 – 64 %	(64 − 100) : 6	−6 % per valandą

Visur ta pati schema: dydžio pokytis padalytas iš laiko (ar kito dydžio) pokyčio. Paskutinėje eilutėje greitis neigiamas – baterija senka. Minuso ženklas reiškia „mažėja“.

Kodėl tai svarbu?

Išvestinė – tai tas pats kitimo greitis, tik ne „vidutiniškai per kelias valandas“, o šią akimirką. Kad suprastume „šią akimirką“, pirmiausia turime gerai suprasti paprastą, vidutinį greitį. Geriausiai jį matyti grafike – tiesės statume.

kitimo greitis = dydžio pokytis : laiko pokytis

2Tiesė y = kx + b ir jos laiptai

Tiesės grafikas – tai lygi rampa. Lygtyje y = kx + b du skaičiai turi aiškią prasmę:

b – kur tiesė kerta y ašį (kai x = 0, tai y = b). Tai „starto aukštis“.
k – polinkis (krypties koeficientas): kiek pakyla y, kai einame 1 langeliu į dešinę. Tai rampos „laiptelio aukštis“.

Įsivaizduok, kad lipi tiese kaip laiptais: žingsnis 1 į dešinę, tada k aukštyn. Visi laipteliai vienodi – todėl tiesė ir yra tiesė. Tempk slankiklius:

Polinkis k = 2

Poslinkis b = 1

Mėlyna – tiesė, pilkos brūkšninės atkarpos – žingsnis 1 į dešinę, raudonos – laiptelio aukštis k. Pabandyk k = 0 ir neigiamą k.

Ką pamatei:

k > 0 – tiesė kyla (eini į dešinę – lipi aukštyn). Kuo didesnis k, tuo statesnė.
k < 0 – tiesė leidžiasi (laipteliai veda žemyn). k = −3 leidžiasi stačiau nei k = −1.
k = 0 – tiesė horizontali, y nesikeičia: y = b.
Keičiant b, tiesė tik pasislenka aukštyn ar žemyn – jos statumas nesikeičia.

Kaip rasti k, kai žinomi du taškai?

Laiptelis nebūtinai turi būti vieno langelio. Jei nuo taško (x₁; y₁) nueisime iki taško (x₂; y₂), tai x pasikeis Δx = x₂ − x₁, o y – Δy = y₂ − y₁ (Δ – graikiška raidė „delta“, reiškia „pokytis“). Kiek y tenka vienam x žingsniui? Padalijame:

k = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Tai ta pati formulė kaip „kelias : laikas“ – tik vietoj kelio y pokytis, vietoj laiko x pokytis.

3Vidutinis kitimo greitis ir kirstinė

Dabar paimkime bet kokią funkciją, nebūtinai tiesę, pavyzdžiui, f(x) = x². Jos grafikas lenktas, bet du jo taškus vis tiek galima sujungti tiese. Tiesė, einanti per du kreivės taškus, vadinama kirstine (ji „perkerta“ kreivę).

Kai x pakinta nuo a iki b, funkcija pakinta nuo f(a) iki f(b). Jos vidutinis kitimo greitis intervale [a; b]:

vidutinis greitis = (f(b) − f(a)) / (b − a) = Δy / Δx

= kirstinės per taškus (a; f(a)) ir (b; f(b)) polinkis

Tai lygiai tas pats, ką darėme su automobiliu: „kiek nuvažiavo“ padalyta iš „per kiek laiko“. Tempk taškus A ir B:

Taškas A: a = 1

Taškas B: b = 3

Mėlyna – y = x², raudona – kirstinė. Pilkas trikampis rodo Δx (žingsnį į šoną) ir Δy (kiek pakilo). Kirstinės polinkis = Δy : Δx.

Įdomu: funkcijai x² vidutinis greitis intervale [a; b] visada lygus a + b, nes:

(b² − a²) / (b − a) = (b − a)(b + a) / (b − a) = a + b

Patikrink su slankikliais.

4Kodėl kreivei vieno k neužtenka?

Tiesės visi laipteliai vienodi. O dabar palipkime parabole y = x² laipteliais po 1 į dešinę:

Kiekvienas žingsnis – 1 į dešinę, bet laipteliai vis aukštesni: +1, +3, +5. Parabolė vis statėja.

Intervalas	Δy	Vidutinis greitis
[0; 1]	1 − 0 = 1	1
[1; 2]	4 − 1 = 3	3
[2; 3]	9 − 4 = 5	5

Tiesės statumas visur tas pats, todėl jai užtenka vieno skaičiaus k. Kreivė skirtingose vietose skirtingai stati – kaip kalnų takas: čia nuolaidu, ten stačiau. Vidutinis greitis priklauso nuo to, kurį gabalą paimsi, ir jis tik „sumaišo“ visą gabalą į vieną skaičių.

Todėl kyla klausimas: koks kreivės statumas viename taške? Kokį greitį automobilis turi lygiai 2-ąją sekundę, o ne vidutiniškai per kelias? Atsakymas – išvestinė, ir prie jos ateisime kitame skyriuje.

Tiesė – vienas k visur. Kreivė – kiekviename taške savas k.

5Išspręsti pavyzdžiai

1 pavyzdys · vidutinis greitis iš lentelės

Dviratininkas važiuoja. Lentelėje – kiek kilometrų jis nuvažiavo nuo starto.

Laikas t, h	0	1	2	3
Kelias s, km	0	18	30	45

Koks vidutinis greitis per visą kelionę ir per kiekvieną valandą?

[0; 3]: (45 − 0) / (3 − 0) = 45 / 3 = 15 km/h

[0; 1]: (18 − 0) / 1 = 18 km/h

[1; 2]: (30 − 18) / 1 = 12 km/h įkalnė?

[2; 3]: (45 − 30) / 1 = 15 km/h

Vidutinis 15 km/h nepasako, kad antrą valandą dviratininkas važiavo lėčiau. Kuo trumpesnį gabalą imi, tuo tiksliau žinai, kas vyko.

2 pavyzdys · f(x) = x² intervale [1; 3]

Rask vidutinį funkcijos f(x) = x² kitimo greitį intervale [1; 3] ir kirstinės lygtį.

f(1) = 1² = 1, f(3) = 3² = 9

vidutinis greitis = (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (9 − 1) / 2 = 4

kirstinė: y = 4x + b, eina per (1; 1): 1 = 4 · 1 + b → b = −3

kirstinė: y = 4x − 3 patikrink: 4 · 3 − 3 = 9 ✓

3 pavyzdys · temperatūra per parą

6:00 buvo −4 °C, 14:00 – 6 °C, 22:00 – −2 °C. Koks vidutinis temperatūros kitimo greitis rytą–dieną, dieną–vakarą ir per visą laiką?

6:00–14:00: (6 − (−4)) / (14 − 6) = 10 / 8 = 1,25 °C/h šyla

14:00–22:00: (−2 − 6) / (22 − 14) = −8 / 8 = −1 °C/h vėsta

6:00–22:00: (−2 − (−4)) / (22 − 6) = 2 / 16 = 0,125 °C/h

Per visą dieną vidutiniškai „beveik nesikeitė“, nors iš tikrųjų pirmiau gerokai sušilo, o paskui atvėso. Vidutinis greitis paslepia istoriją – todėl ir reikės greičio akimirkai.

4 pavyzdys · tiesė per du taškus

Parašyk tiesės, einančios per taškus (−2; 7) ir (3; −3), lygtį.

k = (−3 − 7) / (3 − (−2)) = −10 / 5 = −2 leidžiasi

y = −2x + b, per (−2; 7): 7 = −2 · (−2) + b = 4 + b → b = 3

y = −2x + 3 patikrink: −2 · 3 + 3 = −3 ✓

5 pavyzdys · sudėtingesnė funkcija

Rask funkcijos f(x) = x³ − 2x vidutinį kitimo greitį intervale [−1; 2].

f(−1) = (−1)³ − 2 · (−1) = −1 + 2 = 1

f(2) = 2³ − 2 · 2 = 8 − 4 = 4

(f(2) − f(−1)) / (2 − (−1)) = (4 − 1) / 3 = 1

Atkreipk dėmesį į skliaustus prie neigiamų skaičių – čia dažniausiai suklystama.

6Dažniausios klaidos

Sukeista tvarka. Skaitiklyje f(b) − f(a), vardiklyje tokia pati tvarka: b − a. Jei viršuje „antras minus pirmas“, tai ir apačioje „antras minus pirmas“.

Apversta trupmena. k = Δy / Δx, ne Δx / Δy. Polinkis – kiek pakyla vienam žingsniui į šoną.

Pamiršti skliaustai. 7 − (−3) = 10, o ne 4. Neigiamą skaičių visada rašyk skliaustuose.

b supainiotas su k. b – kur tiesė kerta y ašį, k – statumas. y = 3 − 2x polinkis yra −2, ne 3.

Vidutinis = visada toks. Vidutinis greitis nereiškia, kad greitis visą laiką buvo toks (žr. 3 pavyzdį).

Trumpai – ką reikia žinoti

Kitimo greitis = dydžio pokytis : kito dydžio (dažnai laiko) pokyčio. Neigiamas greitis – dydis mažėja.
Tiesėje y = kx + b: k – kiek pakyla y, kai x padidėja 1; b – kur tiesė kerta y ašį.
k > 0 – kyla, k < 0 – leidžiasi, k = 0 – horizontali.
Per du taškus: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
Vidutinis funkcijos kitimo greitis intervale [a; b] = (f(b) − f(a))/(b − a) = kirstinės polinkis.
Kreivės statumas skirtingose vietose skirtingas – reikia greičio taške. Tai bus išvestinė.

7Pasitikrink

1.1

Automobilis per 2,5 h nuvažiavo 200 km. Koks jo vidutinis greitis (km/h)?

Užuomina

Kelias padalytas iš laiko.

Sprendimas

200 : 2,5 = 80 km/h

1.2

Rask tiesės, einančios per taškus (1; 2) ir (3; 8), polinkį k.

Užuomina

k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Sprendimas

k = (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3

1.3

Rask funkcijos f(x) = x² vidutinį kitimo greitį intervale [2; 5].

Užuomina

Apskaičiuok f(2) ir f(5), tada (f(5) − f(2)) / (5 − 2).

Sprendimas

f(2) = 4, f(5) = 25

(25 − 4) / (5 − 2) = 21 / 3 = 7

Patikrink: a + b = 2 + 5 = 7 ✓

1.4

Telefono baterija 7:00 rodė 90 %, o 12:00 – 60 %. Koks vidutinis baterijos kitimo greitis (procentais per valandą)?

Užuomina

Baterija senka, todėl atsakymas turi būti neigiamas.

Sprendimas

(60 − 90) / (12 − 7) = −30 / 5 = −6 % per valandą

1.5

Parašyk tiesės, einančios per taškus (−1; 5) ir (2; −1), lygtį y = kx + b.

Užuomina

Pirma rask k, tada įstatyk vieną tašką ir rask b.

Sprendimas

k = (−1 − 5) / (2 − (−1)) = −6 / 3 = −2

5 = −2 · (−1) + b = 2 + b → b = 3

y = −2x + 3

Mokymosi puslapis. Klaidą ar neaiškumą pastebėjai – pasakyk tėčiui.