Formulės ir taisyklės
Skaičiuoti ribą kiekvienai funkcijai – ilga ir varginanti kelionė. Matematikai tai padarė vieną kartą ir surašė rezultatus į lentelę. Šiame skyriuje susidedame į „įrankių dėžę“ pagrindines formules ir dvi taisykles – su jomis išvestinę rasi per kelias sekundes.
1KAM to reikia?
2 skyriuje išvestinę x³ radome per keturis žingsnius: išskleidėme (x + h)³, atėmėme, padalijome, įstatėme h = 0. O kaip su x⁷? Arba ∛x²? Arba sin x? Kiekvieną kartą skaičiuoti ribą – lėta ir lengva suklysti.
Išvestines pagrindinių funkcijų (laipsnio, šaknies, sinuso, eksponentės, logaritmo) kažkas jau suskaičiavo pagal apibrėžimą. Mums lieka išmokti lentelę ir dvi paprastas taisykles. Tada beveik bet kurios mokyklinės funkcijos išvestinę rasi kaip lego: išskaidai į gabalus, kiekvienam paimi formulę, sudedi.
2Laipsnio formulė – svarbiausias įrankis
Prisiminkime 2 skyriaus rezultatus: (x)′ = 1, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x², (x⁻¹)′ = −x⁻². Visur tas pats triukas: rodiklis nusileidžia į priekį, o naujas rodiklis vienetu mažesnis.
Formulė veikia ne tik su sveikaisiais n, bet ir su neigiamais bei trupmeniniais (tada x > 0). Netiki? Patikrink pats: pasirink n ir tašką a. Kompiuteris apskaičiuos polinkį dviem būdais – pagal formulę ir „kaip 2 skyriuje“, su mažu h = 0,001.
Ypatingi atvejai: n = 1 duoda x′ = 1; n = 0 duoda (x⁰)′ = (1)′ = 0 – konstantos išvestinė lygi nuliui.
3Pagrindinių išvestinių lentelė
Tai visa įrankių dėžė. Pirmąsias šešias eilutes gali išvesti iš laipsnio formulės, kitas reikia įsiminti.
| Funkcija f(x) | Išvestinė f′(x) | Pastaba |
|---|---|---|
| c (konstanta) | 0 | horizontali tiesė nekyla |
| x | 1 | tiesės y = x polinkis |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | bet koks n |
| √x | 1 / (2√x) | √x = x^(1/2), x > 0 |
| 1/x | −1/x² | 1/x = x⁻¹, x ≠ 0 |
| sin x | cos x | žr. grafiką žemiau |
| cos x | −sin x | nepamiršk minuso! |
| tg x | 1 / cos²x | cos x ≠ 0 |
| eˣ | eˣ | vienintelė, kuri nesikeičia |
| aˣ | aˣ · ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| logₐ x | 1 / (x · ln a) | x > 0 |
Pavyzdžiui, √x išvestinė iš laipsnio formulės: (x^(1/2))′ = ½ · x^(−1/2) = 1/(2√x). O (2ˣ)′ = 2ˣ · ln 2, (log₃ x)′ = 1/(x ln 3).
Kodėl (sin x)′ = cos x? Pažiūrėk pats
Tempk tašką per sinusoidę. Kiekviename taške išmatuojame liestinės polinkį ir padedame žalią taškelį tokiame aukštyje. Taškeliai palieka pėdsaką… ir jis nupiešia kosinusą.
Kur sinusas kyla stačiausiai (x = 0), pėdsakas aukščiausiai: 1. Sinuso viršūnėje (x = π/2) liestinė horizontali – pėdsakas 0. Kur sinusas leidžiasi, pėdsakas po ašimi. Tai ir yra kosinusas.
4Dvi taisyklės: skaičius prieš funkciją ir suma
Kodėl skaičius lieka? Funkcija 5x² – tai x² grafikas, ištemptas 5 kartus į aukštį. Ištempus visi laipteliai tampa 5 kartus aukštesni, vadinasi, ir polinkis 5 kartus didesnis: (5x²)′ = 5 · 2x = 10x.
Kodėl suma skyla? Eini eskalatoriumi, kuris pats juda. Tavo greitis žemės atžvilgiu = tavo žingsnių greitis + eskalatoriaus greitis. Greičiai (išvestinės) sudedami taip pat, kaip sudedamos funkcijos.
Dėmesio: atskiras skaičius (dėmuo) dingsta – (x² + 7)′ = 2x, o skaičius-daugiklis lieka – (7x²)′ = 14x.
5Pirmiau pertvarkyk, paskui diferencijuok
Laipsnio formulė dirba tik su xⁿ. Todėl šaknis ir trupmenas pirmiausia perrašome laipsniais. Prisimink: ⁿ√xᵐ = x^(m/n) ir 1/xⁿ = x⁻ⁿ.
| Buvo | Perrašome | Išvestinė |
|---|---|---|
| √x | x^(1/2) | ½ x^(−1/2) = 1/(2√x) |
| ∛x² | x^(2/3) | ⅔ x^(−1/3) = 2/(3∛x) |
| 1/x³ | x⁻³ | −3x⁻⁴ = −3/x⁴ |
| 3/x⁴ | 3x⁻⁴ | −12x⁻⁵ = −12/x⁵ |
| 1/√x | x^(−1/2) | −½ x^(−3/2) = −1/(2x√x) |
| x√x | x^(3/2) | ³⁄₂ x^(1/2) = 1,5√x |
| 1/(2x) | ½ x⁻¹ | −½ x⁻² = −1/(2x²) |
Paskutinė eilutė – spąstai: 1/(2x) yra ½ · x⁻¹, o ne 2x⁻¹. Skaičius vardiklyje lieka vardiklyje.
6Išspręsti pavyzdžiai (nuo lengvų iki sunkių)
1 pavyzdys · daugianaris
f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 2
2 pavyzdys · trupmeninis koeficientas ir π
f(x) = x⁵/5 − 2x + π
3 pavyzdys · neigiamas laipsnis
f(x) = 3/x⁴
4 pavyzdys · šaknis
f(x) = ∛x²
5 pavyzdys · viskas kartu
f(x) = 6√x − 4/x + 1/(2x²)
6 pavyzdys · pirmiau išskleisk
f(x) = (x² + 1)²
Kol neišmokome sudėtinės funkcijos taisyklės (4 skyrius), skliaustus pirmiau išskleidžiame.
7 pavyzdys · padalyk kiekvieną narį
f(x) = (x³ − 2x + 5) / x
8 pavyzdys · sin, cos ir eˣ
f(x) = 2 sin x − 3 cos x + eˣ
9 pavyzdys · logaritmai ir aˣ
f(x) = 5 ln x − 2ˣ + log₃ x
10 pavyzdys · x√x ir tg x
f(x) = x√x − 4 tg x
Išvestinės reikšmė taške
Dažnai klausia ne formulės, o skaičiaus, pvz., f′(4). Tvarka visada ta pati: pirmiau rask f′(x), tik tada įstatyk skaičių.
11 pavyzdys · f′(4)
f(x) = x³ − 4√x. Rask f′(4).
12 pavyzdys · f′(1) su e ir ln
f(x) = 2eˣ + ln x. Rask f′(1).
7Dažniausios klaidos
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ bet kokiam n. Konstantos išvestinė 0.
- (c·f)′ = c·f′, (f ± g)′ = f′ ± g′ – diferencijuok narys po nario.
- Šaknis ir trupmenas pirmiau perrašyk laipsniais: ∛x² = x^(2/3), 3/x⁴ = 3x⁻⁴.
- (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x.
- (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a, (ln x)′ = 1/x, (logₐ x)′ = 1/(x ln a).
- Reikšmė taške: pirmiau f′(x), paskui įstatyk skaičių.
8Pasitikrink
Rask f′(x), kai f(x) = 2x⁴ − 3x² + x − 9.
Užuomina
Narys po nario: (2x⁴)′ = 8x³.
Sprendimas
Rask f′(x), kai f(x) = 5x³ + 4/x.
Užuomina
4/x = 4x⁻¹.
Sprendimas
Rask f′(x), kai f(x) = 4√x + ∛x.
Užuomina
√x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3). Atsakymą gali rašyti, pvz., 2/sqrt(x) + 1/(3x^(2/3)).
Sprendimas
Rask f′(x), kai f(x) = 3 sin x − 2eˣ + ln x.
Užuomina
Trys lentelės eilutės: sin x, eˣ, ln x.
Sprendimas
Rask f′(x), kai f(x) = (x² − 3) / x.
Užuomina
Padalyk kiekvieną narį: x − 3/x.
Sprendimas
Funkcija f(x) = x³ − 6√x. Apskaičiuok f′(4).
Užuomina
Pirmiau f′(x) = 3x² − 3/√x, tada įstatyk 4.
Sprendimas
Mokymosi puslapis. Klaidą ar neaiškumą pastebėjai – pasakyk tėčiui.