4 skyrius · 11–12 klasė

Sandauga, dalmuo, sudėtinė funkcija

3 skyriuje išmokome atskirų „plytų“ išvestines: xⁿ, sin x, eˣ, ln x. Tikrose formulėse plytos sudaugintos, padalytos arba įdėtos viena į kitą. Šiame skyriuje – trys taisyklės, kurios leidžia išdiferencijuoti beveik bet kokią mokyklinę funkciją.

Įsimink: sudėtinė funkcija – kaip lėlė matrioška. Pirmiausia atidarai išorinę lėlę, paskui – vidinę. Išvestinė skaičiuojama ta pačia tvarka: išorinės išvestinė, padauginta iš vidinės išvestinės.

0KAM to reikia?

Tikros formulės retai būna paprastos

Ką darome, kai reikia išvestinės iš x · sin x arba (3x + 1)⁵? Iš 3 skyriaus formulių atskirai mokame ir x, ir sin x, bet ne jų sandaugą. O (3x + 1)⁵ išskleisti būtų ilgas ir nuobodus darbas.

Pavyzdys 1 – augantis stačiakampis. Daržas plečiasi: jo ilgis u(t) ir plotis v(t) abu didėja laikui bėgant. Plotas S(t) = u(t) · v(t) – tai sandauga. Kaip greitai auga plotas? Reikia sandaugos išvestinės.

Pavyzdys 2 – vėstanti arbata. Karšta arbata (90 °C) kambaryje (20 °C) vėsta pagal formulę T(t) = 20 + 70 · e^−0,1t (t – minutės). Kaip greitai krinta temperatūra? Čia e laipsnyje stovi ne x, o −0,1t: viena funkcija įdėta į kitą. Reikia sudėtinės funkcijos išvestinės. Atsakymą rasime pavyzdžių skyrelyje.

Trys taisyklės: sandauga, dalmuo, „lėlės“.

1Sandaugos išvestinė: augantis stačiakampis

Pirmiausia – spąstai. Atrodo natūralu manyti, kad sandaugos išvestinė yra išvestinių sandauga. Patikrinkime su paprasčiausiu atveju x · x = x². Tikra išvestinė (x²)′ = 2x. O „išvestinių sandauga“ duotų x′ · x′ = 1 · 1 = 1. Netinka! Vadinasi, reikia kitos taisyklės.

Ją lengviausia pamatyti. Įsivaizduok stačiakampį, kurio kraštinės u ir v. Per trumpą laiką Δt kraštinė u paūga Δu, o v paūga Δv. Kiek padidėjo plotas? Atsiranda trys gabaliukai:

žalia juosta dešinėje: Δu · v;
raudona juosta viršuje: u · Δv;
mažytis kampukas: Δu · Δv – mažas kart mažas, todėl labai mažas.

Čia u(t) = 2 + t ir v(t) = 1 + 0,5t, taigi u′ = 1, v′ = 0,5. Tempk slankiklius. Kai Δt mažėja iki 0, kampukas išnyksta greičiau už juostas – lieka tik dvi juostos.

Laikas t = 1

Laiko tarpas Δt = 1

Mėlynas – stačiakampis momentu t. Žalia ir raudona juostos – kiek jis paaugo per Δt. Pilkas kampukas – Δu·Δv. Horizontaliai – kraštinė u, vertikaliai – kraštinė v.

Padalykime ploto prieaugį iš Δt:

ΔS/Δt = (Δu/Δt)·v + u·(Δv/Δt)

+ (Δu/Δt)·Δv

Kai Δt → 0: Δu/Δt → u′, Δv/Δt → v′, o Δv → 0

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Žodžiais: „pirmos išvestinė kart antra, plius pirma kart antros išvestinė“. Kiekvieną kartą išvestinė „aplanko“ tik vieną dauginamąjį, o kitas lieka nepakitęs. Patikrinkime su x · x: 1 · x + x · 1 = 2x. Teisingai!

(uv)′ = u′v + uv′ – dvi juostos, kampukas dingsta.

2Dalmens išvestinė

KAM? Daug formulių yra trupmenos: vidutinė kaina (x + 100)/x, koncentracija, tg x = sin x / cos x. Dalmens taisyklė panaši į sandaugos, tik su minusu ir vardikliu:

(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v², kai v ≠ 0

Kaip įsiminti? „Apačia kart viršaus išvestinė, minus viršus kart apačios išvestinė, viskas padalyta iš apačios kvadrato.“ Svarbiausia – tvarka: minusas stovi prieš u · v′. Sukeitus dėmenis vietomis, gautume atsakymą su priešingu ženklu.

Iš kur ji atsiranda? Užrašome u = (u/v) · v ir taikome sandaugos taisyklę: u′ = (u/v)′ · v + (u/v) · v′. Iš čia išreiškiame (u/v)′ = (u′ − u·v′/v) / v = (u′v − uv′)/v².

Pavyzdys: (x / (x + 1))′

= (1 · (x + 1) − x · 1) / (x + 1)²

= 1 / (x + 1)²

Dalmuo: apačia·(viršus)′ − viršus·(apačia)′, per apačią².

3Sudėtinė funkcija – lėlės matrioškos

Pažiūrėk į sin(2x). Skaičiuodamas jos reikšmę, pirmiausia padaugini x iš 2, o tik paskui imi sinusą. Yra dvi funkcijos, įdėtos viena į kitą:

vidinė (mažoji lėlė): g(x) = 2x – ji skaičiuojama pirma;
išorinė (didžioji lėlė): f(□) = sin □ – ji „apgaubia“ vidinę.

Kaip rasti, kuri išorinė? Paklausk savęs: „Ką skaičiuočiau paskutinį, jei turėčiau skaičiuotuvą?“ Tai ir yra išorinė funkcija. Pavyzdžiui, (3x + 1)⁵: pirma suskaičiuoji 3x + 1, paskutinis veiksmas – kėlimas penktuoju laipsniu. Taigi išorinė □⁵, vidinė 3x + 1.

(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Žodžiais: atidaryk išorinę lėlę (išdiferencijuok išorinę funkciją, o vidų palik ramybėje, nekeistą), tada padaugink iš vidinės lėlės išvestinės. Jei lėlių daugiau (pvz., sin²(3x)), dauginame iš kiekvieno sluoksnio išvestinės iš eilės.

KODĖL dauginame? Tai kaip krumpliaračiai. Jei vidinė funkcija keičiasi 2 kartus greičiau už x, o išorinė keičiasi 3 kartus greičiau už savo vidų, tai iš viso viskas keičiasi 3 · 2 = 6 kartus greičiau už x. Greičiai sudauginami. Grafike tai matyti taip: sin(kx) yra sinusoidė, „suspausta“ k kartų, todėl visi jos šlaitai k kartų statesni.

Vidinis greitis k = 2

Taškas a = 0

Mėlyna – y = sin(kx), pilka brūkšninė – paprastas y = sin x, raudona – liestinė taške a. Nustatyk a = 0: sin x liestinės polinkis ten 1, o sin(kx) – lygiai k.

Funkcija	Išorinė f(□)	Vidinė □ = g(x)	Išvestinė f′(□) · g′(x)
(3x + 1)⁵	□⁵	3x + 1	5(3x + 1)⁴ · 3
sin(2x)	sin □	2x	cos(2x) · 2
e^x²	e^□	x²	e^x² · 2x
ln(3x − 2)	ln □	3x − 2	1/(3x − 2) · 3
√(x² + 1)	√□	x² + 1	1/(2√(x² + 1)) · 2x

Išorinės išvestinė (vidus nekeičiamas) × vidinės išvestinė.

4Išspręsti pavyzdžiai: nuo lengvų iki sunkių

Pirmiausia pabandyk pats, tik tada žiūrėk sprendimą. Visur taikome tas pačias tris taisykles.

1. (3x + 1)⁵ – sudėtinė

Išorinė □⁵ → 5□⁴; vidinė 3x + 1 → 3

y′ = 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴

Dažna klaida – pamiršti dauginti iš 3 (vidinės išvestinės).

2. √(x² + 1) – sudėtinė su šaknimi

(√□)′ = 1/(2√□); (x² + 1)′ = 2x

y′ = 1/(2√(x² + 1)) · 2x = x / √(x² + 1)

3. sin(2x)

y′ = cos(2x) · (2x)′ = 2cos(2x)

Atkreipk dėmesį: kampas viduje lieka 2x, jo nekeičiame į x.

4. cos²x – kvadratas iš kosinuso

cos²x = (cos x)². Paskutinis veiksmas – kvadratas, todėl išorinė □², vidinė cos x.

y′ = 2cos x · (cos x)′ = 2cos x · (−sin x)

= −2sin x · cos x = −sin(2x)

5. e^x²

(e^□)′ = e^□; (x²)′ = 2x

y′ = e^x² · 2x = 2x · e^x²

eˣ – ypatinga „lėlė“: atidaryta ji nepasikeičia. Bet iš vidinės išvestinės vis tiek dauginame.

6. ln(3x − 2)

(ln □)′ = 1/□; (3x − 2)′ = 3

y′ = 1/(3x − 2) · 3 = 3 / (3x − 2), kai x > 2/3

7. x · eˣ – sandauga

u = x, u′ = 1; v = eˣ, v′ = eˣ

y′ = 1 · eˣ + x · eˣ = eˣ(x + 1)

8. x² · sin x – sandauga

u = x², u′ = 2x; v = sin x, v′ = cos x

y′ = 2x · sin x + x² · cos x

9. x · ln x – sandauga

u = x, u′ = 1; v = ln x, v′ = 1/x

y′ = 1 · ln x + x · 1/x = ln x + 1, kai x > 0

10. (x + 1)/(x − 1) – dalmuo

u = x + 1, u′ = 1; v = x − 1, v′ = 1

y′ = (1 · (x − 1) − (x + 1) · 1)/(x − 1)²

= (x − 1 − x − 1)/(x − 1)² = −2 / (x − 1)²

Išvestinė visur neigiama – funkcija kiekviename savo apibrėžimo srities intervale mažėja (apie tai – 6 skyriuje).

11. tg x – per dalmenį

tg x = sin x / cos x; u′ = cos x, v′ = −sin x

y′ = (cos x · cos x − sin x · (−sin x)) / cos²x

= (cos²x + sin²x)/cos²x = 1 / cos²x

Pasinaudojome tapatybe sin²x + cos²x = 1. Taip gavome lentelės formulę (tg x)′ = 1/cos²x patys.

12. Grįžtame prie arbatos: T(t) = 20 + 70e^−0,1t

T′(t) = 0 + 70 · e^−0,1t · (−0,1) = −7e^−0,1t °C/min

T′(0) = −7 °C/min; T′(10) = −7/e ≈ −2,58 °C/min

Pradžioje arbata vėsta 7 laipsniais per minutę, po 10 minučių – jau tik apie 2,6 laipsnio per minutę. Minuso ženklas reiškia, kad temperatūra krinta.

5Dažniausios klaidos

(uv)′ = u′v′ – neteisinga. Teisingai: u′v + uv′ (dvi juostos).

Pamiršta vidinė išvestinė: (sin 3x)′ ≠ cos 3x. Teisingai: 3cos 3x.

Pakeistas vidus: (e^x²)′ ≠ e^2x. Išorinę išvestinę imame nekeisdami vidaus: e^x² · 2x.

Dalmens ženklas: skaitiklyje u′v − uv′, o ne uv′ − u′v. Ir nepamiršk v² vardiklyje.

Sandaugos taisyklė be reikalo: (5x³)′ – čia 5 yra konstanta, užtenka 15x².

Trumpai – ką reikia žinoti

Sandauga: (uv)′ = u′v + uv′.
Dalmuo: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Sudėtinė: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) – išorinė (vidus nekeičiamas) kart vidinės išvestinė.
Kuri išorinė? Tas veiksmas, kurį skaičiuotuvu atliktum paskutinį.
Naudingos pasekmės: (sin kx)′ = k cos kx, (e^kx)′ = k e^kx, ((kx + b)ⁿ)′ = nk(kx + b)ⁿ⁻¹, (tg x)′ = 1/cos²x.

✓Pasitikrink

Įvesk išvestinę, pvz., 8(2x-5)^3 arba 2x*cos(x^2). Pertvarkyti nebūtina – tikrinama, ar formulės lygios.

4.1

Rask f′(x), kai f(x) = (2x − 5)⁴.

Užuomina

Išorinė □⁴, vidinė 2x − 5, jos išvestinė 2.

Sprendimas

f′(x) = 4(2x − 5)³ · 2 = 8(2x − 5)³

4.2

Rask f′(x), kai f(x) = √(4x + 1).

Užuomina

(√□)′ = 1/(2√□), o vidinės 4x + 1 išvestinė yra 4.

Sprendimas

f′(x) = 1/(2√(4x + 1)) · 4 = 2/√(4x + 1)

4.3

Rask f′(x), kai f(x) = x³ · eˣ.

Užuomina

Sandauga: u = x³, v = eˣ.

Sprendimas

f′(x) = 3x² · eˣ + x³ · eˣ = x²eˣ(x + 3)

4.4

Rask f′(x), kai f(x) = sin(x²).

Užuomina

Išorinė sin □, vidinė x². Kampas viduje lieka x².

Sprendimas

f′(x) = cos(x²) · 2x = 2x · cos(x²)

4.5

Rask f′(x), kai f(x) = 2x / (x + 3).

Užuomina

Dalmuo: u = 2x, u′ = 2; v = x + 3, v′ = 1.

Sprendimas

f′(x) = (2(x + 3) − 2x · 1)/(x + 3)²

= 6/(x + 3)²

4.6

Rask f′(x), kai f(x) = ln(x² + 1).

Užuomina

Išorinė ln □ → 1/□; vidinė x² + 1 → 2x.

Sprendimas

f′(x) = 1/(x² + 1) · 2x = 2x/(x² + 1)

0KAM to reikia?

1Sandaugos išvestinė: augantis stačiakampis

2Dalmens išvestinė

3Sudėtinė funkcija – lėlės matrioškos

4Išspręsti pavyzdžiai: nuo lengvų iki sunkių

1. (3x + 1)⁵ – sudėtinė

2. √(x² + 1) – sudėtinė su šaknimi

3. sin(2x)

4. cos²x – kvadratas iš kosinuso

5. ex²

6. ln(3x − 2)

7. x · eˣ – sandauga

8. x² · sin x – sandauga

9. x · ln x – sandauga

10. (x + 1)/(x − 1) – dalmuo

11. tg x – per dalmenį

12. Grįžtame prie arbatos: T(t) = 20 + 70e−0,1t

5Dažniausios klaidos

✓Pasitikrink

5. e^x²

12. Grįžtame prie arbatos: T(t) = 20 + 70e^−0,1t