5 skyrius · 11–12 klasė

Liestinės lygtis

Išvestinė yra liestinės polinkis. Šiame skyriuje iš to padarysime pilną tiesės lygtį y = kx + b, išmoksime ją rasti bet kuriame taške ir išspręsime visus tipinius liestinės uždavinius – nuo paprasčiausio iki 166-ojo.

Įsimink: rodyklė, kuria dviratininkas juda šią akimirką, – tai liestinė. Įkalnėje ji kyla, viršūnėje guli horizontaliai, nuokalnėje leidžiasi.

0KAM to reikia?

Liestinė – kryptis „dabar“ ir paprasta kreivės kopija

Kryptis dabar. Dviratininkas važiuoja kalvota trasa. Jei kelias staiga baigtųsi, jis kurį laiką nuriedėtų tiesiai – liestine. Taip pat iš rankos išskrenda kamuolys, taip nuo rato nulekia purvas. Norint apskaičiuoti tą tiesę, reikia jos lygties.

Apytikslės reikšmės. Kreivė labai arti lietimosi taško beveik sutampa su liestine. O tiesės reikšmes skaičiuoti lengva. Todėl, pavyzdžiui, √4,1 galima apskaičiuoti mintinai – žr. 2 grafiką žemiau.

1Geometrinė išvestinės prasmė

Prisimink tiesę y = kx + b. Skaičius k (krypties koeficientas) sako, kiek tiesė pakyla, kai einame 1 langeliu į dešinę. Jis susijęs su kampu α, kurį tiesė sudaro su teigiamąja Ox ašies kryptimi:

k = tg α

α = 45° → k = 1; α = 135° → k = −1; α = 0° → k = 0 (horizontali tiesė)

Iš 2 skyriaus žinome: liestinės taške x = a polinkis yra išvestinė. Sujungę gauname svarbiausią sakinį:

f′(a) = k = tg α

liestinės krypties koeficientas = išvestinė lietimosi taške

Kai f′(a) > 0, liestinė kyla (kampas smailusis), kai f′(a) < 0 – leidžiasi (kampas bukasis), kai f′(a) = 0 – guli horizontaliai.

2Iš kur ta lygtis?

Liestinė yra tiesė, todėl jos lygtis y = kx + b. Reikia rasti du skaičius – k ir b.

k jau žinome: k = f′(a).
Liestinė eina per lietimosi tašką (a; f(a)). Įstatome jį į lygtį: f(a) = k · a + b, iš čia b = f(a) − k · a.
Įstatome b atgal: y = kx + f(a) − ka = f(a) + k(x − a).

y = f(a) + f′(a) · (x − a)

Šią formulę verta išmokti atmintinai. Joje reikia tik trijų skaičių: a, f(a) ir f′(a).

Algoritmas „liestinė taške x = a“

Apskaičiuok f(a) – lietimosi taško aukštį.
Rask išvestinę f′(x) ir apskaičiuok f′(a) – polinkį.
Įstatyk į y = f(a) + f′(a)(x − a).
Atskliausk ir suprastink iki y = kx + b.
Patikrink: įstačius x = a, turi gautis f(a).

Tempk slankiklį – liestinė slysta kreive y = x³ − 3x, o po grafiku iš karto parašoma jos lygtis. Šiai funkcijai f′(x) = 3x² − 3, o atskliaudus gaunama graži bendra formulė y = (3a² − 3)x − 2a³.

Lietimosi taškas a = 0,5

Mėlyna – y = x³ − 3x, raudona – liestinė. Rask taškus, kur liestinė horizontali (a = −1 ir a = 1), ir tašką, kur ji leidžiasi stačiausiai (a = 0).

3Liestinė kaip „pigi kopija“: apytikslės reikšmės

Kiek yra √4,1? Skaičiuotuvo nėra. Bet žinome, kad √4 = 2. Paimkime f(x) = √x liestinę taške a = 4:

f(4) = 2, f′(x) = 1/(2√x), f′(4) = 1/4

y = 2 + (1/4)(x − 4)

√4,1 ≈ 2 + 0,1/4 = 2,025 (tikroji reikšmė 2,02485…)

Paklaida mažesnė nei viena tūkstantoji! Tempk slankiklį ir pažiūrėk: kol x arti 4, liestinė ir kreivė beveik sutampa; kuo toliau, tuo paklaida didesnė.

x = 4,1

Mėlyna – y = √x, raudona – liestinė taške (4; 2). Žalia atkarpa – paklaida tarp tiesės ir kreivės.

4Išspręsti pavyzdžiai: visi tipai

1. Liestinė duotame taške

Parašyk funkcijos f(x) = x² − 3x + 1 grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė a = 2.

f(2) = 4 − 6 + 1 = −1

f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1

y = −1 + 1 · (x − 2) = x − 3

tikrinam: x = 2 → y = −1 ✓

2. Liestinė, lygiagreti duotai tiesei

Parašyk funkcijos f(x) = x² − 2x + 3 grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei y = 4x − 1, lygtį.

Idėja: lygiagrečių tiesių polinkiai lygūs, todėl liestinės k = 4. Lietimosi tašką randame iš lygties f′(x) = 4.

f′(x) = 2x − 2 = 4 → a = 3

f(3) = 9 − 6 + 3 = 6

y = 6 + 4(x − 3) = 4x − 6

3. Liestinė su duotu kampu

a) Kuriuose taškuose funkcijos f(x) = x³ − 2x grafiko liestinė sudaro 45° kampą su Ox ašimi? Parašyk tų liestinių lygtis.

k = tg 45° = 1; f′(x) = 3x² − 2 = 1 → x² = 1 → a = ±1

a = 1: f(1) = −1, y = −1 + (x − 1) = x − 2

a = −1: f(−1) = 1, y = 1 + (x + 1) = x + 2

b) Funkcijos f(x) = x² + 3x grafiko liestinė sudaro 135° kampą su Ox ašimi. Parašyk jos lygtį.

k = tg 135° = −1; f′(x) = 2x + 3 = −1 → a = −2

f(−2) = 4 − 6 = −2

y = −2 − (x + 2) = −x − 4

4. Kur liestinė horizontali?

Horizontalios tiesės polinkis 0, todėl sprendžiame f′(x) = 0. Funkcijai f(x) = x³ − 3x (iš grafiko):

f′(x) = 3x² − 3 = 0 → a = ±1

f(1) = −2 → liestinė y = −2

f(−1) = 2 → liestinė y = 2

Šie taškai – kalvos viršūnė ir duobės dugnas. Tai 6 skyriaus tema.

5. Liestinė per tašką, esantį ne ant grafiko 12 kl.

Per tašką M(1; −3) nubrėžtos funkcijos f(x) = x² grafiko liestinės. Parašyk jų lygtis.

Spąstai: taškas M nėra ant parabolės (1² ≠ −3), todėl a = 1 imti negalima. Lietimosi taško nežinome – pažymime jį a ir užrašome liestinę bendrai:

f(a) = a², f′(a) = 2a

y = a² + 2a(x − a) = 2ax − a²

Liestinė eina per M(1; −3): −3 = 2a · 1 − a²

a² − 2a − 3 = 0 → a = 3 arba a = −1

a = 3: y = 6x − 9; a = −1: y = −2x − 1

Iš taško, esančio „po“ parabole, visada galima nubrėžti dvi liestines – kairę ir dešinę.

6. Galutinis bosas: bendroji dviejų parabolių liestinė

Viena liniuotė liečia ir slėnį, ir kalvą — **Įsimink:** bendroji liestinė – viena tiesė, kuri liečia *abu* grafikus.

Parašyk funkcijų f(x) = −x² + 9x − 23 ir g(x) = x² + 3x − 6 grafikų visų bendrųjų liestinių lygtis.

Planas: užrašome f liestinę taške a ir g liestinę taške c (pagal 5 pavyzdžio metodą). Kad tai būtų ta pati tiesė, turi sutapti ir k, ir b.

f liestinė: k = −2a + 9, b = a² − 23

g liestinė: k = 2c + 3, b = −c² − 6

k lygūs → c = 3 − a; b lygūs → a² − 3a − 4 = 0 → a = 4 arba a = −1

Atsakymas: y = x − 7 ir y = 11x − 22

Visas sprendimas žingsnis po žingsnio, su gyvais grafikais – puslapyje „166 uždavinys: dvi parabolės, dvi liestinės“.

5Dažniausios klaidos

Į lygtį įstatoma f′(x), o ne f′(a). Liestinės polinkis yra skaičius, todėl lygtyje negali likti x² ar panašiai.

Painiojami a ir f(a). Skliaustuose (x − a) stovi abscisė, o priekyje – aukštis f(a).

Lygiagreti tiesei: sprendžiame f′(x) = k, o ne f(x) = k.

Taškas ne ant grafiko: negalima jo imti lietimosi tašku. Pažymėk lietimosi tašką a ir įstatyk M koordinates (5 pavyzdys).

Kampas: k = tg α, o ne k = α. 135° → k = −1.

Trumpai – ką reikia žinoti

f′(a) = k = tg α – liestinės polinkis taške a.
Liestinės lygtis: y = f(a) + f′(a)(x − a).
Lygiagreti tiesei y = mx + n → spręsk f′(x) = m.
Su kampu α → spręsk f′(x) = tg α. Horizontali → f′(x) = 0.
Per tašką ne ant grafiko → bendra liestinė su nežinomu a, įstatyk tašką, spręsk lygtį a atžvilgiu.
Arti lietimosi taško f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) – greitas apytikslis skaičiavimas.

✓Pasitikrink

Liestinės lygtį įvesk taip: y = 2x - 9. Kelis skaičius – per kabliataškį: -1; 3.

5.1

Parašyk funkcijos f(x) = x² − 4x grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė a = 3.

Užuomina

Apskaičiuok f(3) ir f′(3), kur f′(x) = 2x − 4.

Sprendimas

f(3) = 9 − 12 = −3, f′(3) = 2

y = −3 + 2(x − 3) = 2x − 9

5.2

Parašyk funkcijos f(x) = √x grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė a = 4.

Užuomina

f′(x) = 1/(2√x). Tai ta pati liestinė, kurią naudojome √4,1 skaičiuoti.

Sprendimas

f(4) = 2, f′(4) = 1/4

y = 2 + (x − 4)/4 = x/4 + 1

5.3

Funkcijos f(x) = x² − 3x grafiko liestinė sudaro 45° kampą su Ox ašimi. Parašyk jos lygtį.

Užuomina

tg 45° = 1, todėl spręsk 2x − 3 = 1.

Sprendimas

2a − 3 = 1 → a = 2; f(2) = 4 − 6 = −2

y = −2 + 1 · (x − 2) = x − 4

5.4

Kuriuose taškuose (parašyk jų abscises) funkcijos f(x) = x³ − 3x² grafiko liestinė lygiagreti tiesei y = 9x + 1?

Užuomina

Spręsk f′(x) = 9, kur f′(x) = 3x² − 6x.

Sprendimas

3x² − 6x = 9 → x² − 2x − 3 = 0

x = 3 arba x = −1

5.5

Per tašką M(0; −4) nubrėžtos funkcijos f(x) = x² grafiko liestinės. Rask lietimosi taškų abscises.

Užuomina

Liestinė taške a: y = 2ax − a². Įstatyk x = 0, y = −4.

Sprendimas

−4 = 2a · 0 − a² → a² = 4 → a = ±2

Liestinės: y = 4x − 4 ir y = −4x − 4